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L’utilité des dérivées

La dérivée peut sembler être une chose bien abstraite lorsqu’on la regarde sous un angle mathématique, puisqu’il est bien difficile de lui trouver une utilité. Cependant, la dérivée occupe une place bien importante dans d’autres domaines. En physique, elle peut servir à étudier le mouvement d’un objet, c’est-à-dire sa vitesse ainsi que sont accélération.  Elle sert aussi en économie où elle peut entre autres servir à trouver le niveau de production qui maximise le bénéfice. Il y a également en biologie que la dérivée trouve son utilité. Ici, elle peut servir à calculer le taux de croissance ainsi qu’à prévoir l’évolution d’une colonie de bactéries. Ce ne sont que des applications parmi tant d’autres.  Par contre, laissez-moi vous offrir un exemple plus concret en ce qui a trait aux dérivées.

Prenons par exemple une entreprise, ce qui, vous l’aurez deviné, nous amène dans le domaine de l’économie. Elle calcule ses revenus selon la règle suivante : R(x) = 10x. R(x) représente le revenu en milliers de dollars et  x  est le nombre d’articles produits en milliers. Cependant, il y a aussi un coût associé à la production de ces articles, déterminer par : C(x) = x3 – 6.x2 + 15.x + 5, où C(x) est le coût en milliers de dollars et  x  les articles en milliers.  En voici une représentation graphique :

Toute entreprise qui se respecte cherche à faire le plus grand bénéfice possible. Le bénéfice se calcule selon cette fonction : B(x) = R(x) – C(x)B(x) étant le bénéfice, R(x) le revenu et  C(x)  le coût. Nous avons déjà une bonne idée du meilleur taux de production d’après le graphique, qui est environ de 3.5 articles, puisque c’est l’endroit où l’écart entre le revenu (en vert) et le coût (en rouge) semble le plus grand et où  B(x) est positif. Cependant, pour déterminer exactement le taux de production qui engendrerait le meilleur bénéfice, nous devons faire appel à la dérivation. Lorsque  nous dérivons une fonction sur le revenu (R(x)), nous obtenons le revenu marginal ( R’(x)) et de même avec le coût (C’(x)). Or, le bénéfice maximum est atteint lorsque le revenu marginal équivaut au coût marginal (R’(x) = C’(x)) et lorsque le bénéfice est positif (B(x) > 0). Voici un graphique du revenu et du coût, tous deux marginaux :

 

On peut y voir que R’(x) = C’(x) en x ≈ 0.5 et 3.5. Si l’on observe ces deux valeurs selon le graphique précédent, on remarque que c’est x ≈ 3.5  qui engendrent un bénéfice positif. C’est donc le taux de production le plus profitable. En voici la démarche mathématique pour les valeurs exactes :

R’(x) = C’(x)
10  = 3x2 – 12x +15
x =  2 ± 1/3 (21)1/2
x1 = 3.53                                   x2=0.47
B(x1) = 8.13 > 0                      B(x2) = -6.13 < 0
Donc, x = 3.53

Et voilà! Voici l’une des utilisations courantes de la dérivée. J’espère que ça vous a plus que vous trouverez plus d’utilité dans les maths !

D’après : http://derivee.cours-de-math.eu/solution3-4-6.php
               http://superieur.deboeck.com/resource/extra/9782804158231/ANAMIC_-Extrait_ch2.pdf

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